Rotation einer Kugel

Meinradmueller/ Oktober 14, 2018/ Geographie, Mathematik

Durchführung

Versetze die Kugel in eine Drehbewegung. Welche Punkte auf der Oberfläche dieser Kugel haben die schnellste Geschwindigkeit, welche die langsamste? Du kannst verschiedene Punkte mit Klebepunkten markieren und diese später wieder entfernen.

Beobachtung

Die Punkte auf dem Äquator haben die höchste Geschwindigkeit. An den Polen beträgt die Geschwindigkeit 0 km/h. Die Drehgeschwindigkeit nimmt vom Äquator hin zu einem der Pole immer mehr ab.

Erklärung

Am Äquator muss ein Punkt in einer vorgegebenen Zeit die längste Strecke zurücklegen. Da die Geschwindigkeit proportional zur Strecke ist, bewegen sich Punkte auf dem Äquator mit der höchsten Geschwindigkeit. Wenn du den Durchmesser der Kugel ermittelst und die Zeit stoppst, kannst du die Geschwindigkeit an den einzelnen Punkten berechnen.

Alltag

Die Erde rotiert um ihre Achse. Auch hier werden auf verschiedenen Punkten der Erdoberfläche verschiedene Geschwindigkeiten erreicht.

Da bekannt ist, dass die Erde einen Tag (etwa 24 Stunden) für eine Drehung benötigt und die Länge des Äquators etwa 40 000 km beträgt, lässt sich die Geschwindigkeit eines Punktes auf dem Äquator leicht mit dieser Formel berechnen:

$v = \frac{s}{t}$

also

$v \approx 1667 \frac{km}{h}$

Im Bild, das den Viertelkreis zeigt, sind die Winkel, die beide mit b bezeichnet sind, Wechselwinkel und damit gleich groß. Laut Definition entspricht der Winkel b dem Breitengrad.

Mit Hilfe der Trigonometrie lässt sich folgende Formel im rechtwinkligen Dreieck aufstellen

$\cos b = \frac{r}{R_{Ä q u a t o r}}$

oder umgestellt nach r:

$r = R_{Ä q u a t o r} \cdot \cos b$

Für den Umfang der Erde am Breitengrad b gilt also

$U_{b} = 2 π r = 2 π R_{Ä q u a t o r} \cdot c o s b = U_{Ä q u a t o r} \cdot c o s b$

und damit für die Geschwindigkeit

$v_{b} = \frac{s_{b}}{t} = \frac{U_{b}}{t} = \frac{U_{Ä q u a t o r} \cdot c o s b}{t} = v_{Ä q u a t o r} \cdot c o s b \approx 1667 \frac{k m}{h} \cdot c o s b$

Sindelfingen liegt auf 48,7° nördlicher Breite. Damit rotiert Sindelfingen mit einer Geschwindigkeit von

$v_{b} \approx 1667 \cdot \cos 48, 7 ° \frac{k m}{h} \approx 1100 \frac{k m}{h}$

auf der Erdoberfläche.

Bleibt nur noch die Frage: Warum merken wir nicht, wenn sich die Erde und damit auch wir mit über 1000 Stundenkilometern bewegen? Hierfür gibt es mehrere Ansatzpunkte:

Der erste Grund ist, dass der Mensch keine Geschwindigkeiten wahrnimmt, sondern nur Beschleunigungen. Ein weiterer Punkt ist der, dass sich die Atmosphäre mit derselben Geschwindigkeit der Erde mitdreht.

Wir würden also lediglich ein Abbremsen der Rotation verspüren, da dann gewaltige Windgeschwindigkeiten auftreten würden.

Hinweise für Lehrerinnen und Lehrer

An dieser Station können Sie mit Ihren Schülerinnen und Schülern folgenden Fragen auf den Grund gehen:

Wie ermittelt man den Durchmesser der Kugel?
Wie ändert sich die Geschwindigkeit der Erdrotation von Breitengrad zu Breitengrad?